求证：1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+ ... ... + 1/(n^2)<2-(1/n)

1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+ ... ... + 1/(n^2)
=1/(1*1)+1/(2*2)+1/(3*3)+....+1/(n*n)
<1/(1*1)+1/(1*2)+1/(2*3)+....+1/((n-1)*n)
=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n

(1)当N=2 时，有
1/(1^2)+1/(2^2）=5/4〈3/2=2-1/2
所以 不等式成立
（2） 假设当N=K（K〉=2）时不等式成立 ，即
1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+ ... + 1/(K^2)<2-(1/K)
当N=K+1 时有
1/(1^2)+1/(2^2)+1/(3^2)+ ... + 1/(K^2)+1/（（K+1）^2）〈2-(1/K)+1/（（K+1）^2）
〈2-（1/K）+1/（K（K+1））

=2- 1/K +1/K -1/（K+1）=2-1/（K+1）
所以 N=K+1时成立
由1.2可知 不等式对一切N ，且N〉=2都成立